已知圆C：（x-2）2+y2=1，点P在直线l：x+y+1=0上，若过点P存在直线m与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，则点P横坐标x0的取值范围是．

Question

已知圆C：（x-2）²+y²=1，点P在直线l：x+y+1=0上，若过点P存在直线m与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，则点P横坐标x₀的取值范围是______．

Answer 1

设点P（x₀，-x₀-1），B（2+cosθ，sinθ），则
由条件得A点坐标为x＝(x0+2+cosθ)/(2)，y＝(sinθ−x0−1)/(2)，
从而((x0+2+cosθ)/(2)−2)2+((sinθ−x0−1)/(2))2＝1，
整理得x02+(cosθ−sinθ−1)x0+1−2cosθ−sinθ＝0，
化归为(x0−2)cosθ−(x0+1)sinθ+x02−x0+1＝0，
从而√(2x02−2x0+5)sin(θ+ϕ)＝−x02+x0−1，
于是由(√(2x02−2x0+5))2≥(−x02+x0−1)2，解得-1≤x₀≤2．
故答案为：[-1，2]．