（2011•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y＝43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x0，0），其中x0＞0，又点P是抛物线的对称轴l

Question

（2011•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y＝(4)/(3)x+8与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x₀，0），其中x₀＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．
（1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P₀，使P₀到点A与点C的距离之和最小；
（2）若△PAC周长的最小值为10+2√(41)，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P₀HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）的条件下，当S＝(75)/(32)时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．（备用图图3）

Answer 1

（1）由题意直线AC与x轴的交点为A，
所以当y=0，则x=-6，
所以点A（-6，0）．
同理点C（0，8），
由题意，A、B是抛物线y=ax²+bx+8与x轴的交点，
∴-6，x₀是一元二次方程ax²+bx+8=0的两个根，
∴-6+x₀=-(b)/(a)，-6x₀=(8)/(a)，
∴a=-(4)/(3x0)，b=-(8)/(x0)+(4)/(3)．
∵A、B点关于抛物线对称，∴BC所在直线与对称轴的交点即为P₀．
设直线BC的解析式为y=mx+n，则n=8，mx₀+n=0，
∴m=-(8)/(x0)，n=8．
∴BC的解析式为y=-(8)/(x0)x+8．
∴当x=-(b)/(2a)=(−6+x0)/(2)时，y=(24)/(x0)+4，
∴P₀的坐标为（(−6+x0)/(2)，(24)/(x0)+4）；

（2）由（1）可知三角形PAC最小即为AC+BC=10+2√(41)，
√(62+82)+√(x20+82)=10

作业帮用户 2017-11-12