偏导数求切线问题曲线｛z=(x^2+y^2)/4,y=4｝在点（2.4.5）处的切线对于X轴的倾角是多少?这为什么用的是偏导数?能否用空间坐标说明几何意义?全导是切线,偏导是什么?

Question

偏导数求切线问题
曲线｛z=(x^2+y^2)/4,y=4｝在点（2.4.5）处的切线对于X轴的倾角是多少?这为什么用的是偏导数?能否用空间坐标说明几何意义?全导是切线,偏导是什么?

Answer 1

曲线｛z=(x²+y²)/4,y=4｝在点（2.4.5）处的切线对于X轴的倾角是多少?

z=(x²+y²)/4是一个顶点在原点,以z轴作轴线的倒立的正园锥；y=4是一个过(0,4,0)且平行于
xoz坐标面的平面.那么曲线就是用y=4的平面去切该锥面所形成的切口轮廓线,将y=4代入锥面方程,得z=(x²+16)/4=(1/4)x²+4,显然这是一条抛物线；点(2,4,5)在锥面上,也在此抛物线上,因此dz/dx=∂z/∂x=(1/2)x∣[x=2]=1；即在点（2.4.5）处的切线对于X轴的倾角是45⁰.