证明曲面x^2+4y+z^2=0与曲面x^2+y^2+z^2+6y+1=0在点(0,-1,2)处相切（即切平面相同）

Question

证明曲面x^2+4y+z^2=0与曲面x^2+y^2+z^2+6y+1=0在点(0,-1,2)处相切（即切平面相同）

Answer 1

证明曲面x^2+4y+z^2=0与曲面x^2+y^2+z^2+6y+1=0在点(0,-1,2)处相切（即切平面相同)
即证明曲面x^2+4y+z^2=0与曲面x^2+y^2+z^2+6y+1=0在点(0,-1,2)处法向量共线!
证明:
曲面x^2+4y+z^2=0 的法向量 {2x,4,2z}
曲面x^2+y^2+z^2+6y+1=0的法向量 {2x,2y+6,2z}
在点(0,-1,2)处
曲面x^2+4y+z^2=0 的法向量 {0,4,4}
曲面x^2+y^2+z^2+6y+1=0的法向量 {0,-2+6,4})={0,4,4}
在同一点处两法向量同向 ：两曲面 内切；
在同一点处两法向量反向 ：两曲面 外切.
所以 曲面x^2+4y+z^2=0与曲面x^2+y^2+z^2+6y+1=0在点(0,-1,2)处 相内切.