曲面z=x2（1-siny）+y2（1-sinx）在点（1，0，1）处的切平面方程为．

Question

曲面z=x²（1-siny）+y²（1-sinx）在点（1，0，1）处的切平面方程为______．

Answer 1

令F（x，y，z）=x²（1-siny）+y²（1-sinx）-z
∵F（1，0，1）=0
∴点（1，0，1）满足隐函数定理的初始条件
∵F_z=-1
∴在点（1，0，1）附近可以确定唯一的连续可微的隐函数z=f（x，y）
∴该曲面在点（1，0，1）处有切平面
∵Fx＝2x(1−siny)−y2cosx
Fy＝−x2cosy+2y(1−sinx)
∴
F_x（1，0，1）=2
F_y（1，0，1）=-1
F_z（1，0，1）=-1
∴切面方程为：
2（x-1）+（-1）（y-0）+（-1）（z-1）=0
即2x-y-z-1=0
故答案为：2x-y-z-1=0