AD,BE是三角形的两条中线,并且AD垂直于BE,则角C的正弦最大值是多少该三角形为ABC,可能用正弦定理或者余弦定理做

Question

AD,BE是三角形的两条中线,并且AD垂直于BE,则角C的正弦最大值是多少
该三角形为ABC,可能用正弦定理或者余弦定理做

Answer 1

因为∠CAB+∠CBA>∠DAB+∠EBA=90º,所以∠COE,在OD上截取OD'=OE,过A作AB'∥ED',交EB延长线于B',连接B'D'并延长交AC于C'.容易说明这时的C'AB'是个等腰三角形,可以看到三角形C'AB'也是符合题意的三角形,而且∠C'>∠C.这说明等腰三角形时,C可取得最大值
下面求最大的∠C,此时CA=CB,不妨设AB=2,那么ED=1
过D作DF∥EB,交AB延长线于F,可以看到ADF是等腰直角三角形,且AF=AB+BF=AB+ED=3,
所以三角形ADF底边上的高＝AF/2=3/2
所以三角形CAB底边上的高CM＝2*3/2=3
在直角三角形CMA中,CM=3,AM=1,可由勾股定理得到CA＝√10
sin∠ACM=AM/AC=1/√10,cos∠ACM=CM/CA=3/√10
sin∠C=sin2∠ACM=2*1/√10*3/√10=3/5