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已知矩阵A=1a−3−14−31−25的特征值有重根且A可对角化,求可逆矩阵P,使P-1AP为对角形矩阵.

题目详情
已知矩阵A=
1a−3
−14−3
1−25
的特征值有重根且A可对角化,求可逆矩阵P,使P-1AP为对角形矩阵.
▼优质解答
答案和解析
由于A的特征多项式为
|λE−A|=
.
λ−1−a3
1λ−43
−12λ−5
.
=(λ-2)(λ2-8λ+a+10)=0
要使得,A的特征值有重根
①当△=64-4(a+10)=0时,即a=6,此时有重根λ=4
且r(4E-A)=2,因此属于特征值4的线性无关的特征向量只有一个
因而不能对角化
②当a=2时,此时有重根λ=2
且r(2E-A)=1,容易求得(2E-A)x=0的基础解系为:
α1=(−3,0,1)T,α2=(2,1,0)T
又另一个特征值为λ=6,且(6E-A)x=0的基础解系为:
α3=(−1,−1,1)T
∴存在可逆矩阵P=
−32−1
01−1
101
,使得P-1AP=diag(2,2,6)