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如图,在△ABC中,AC=BC,F为边AB上的一点,BF:AF=m:n(m、n>0),取CF的中点D,连结AD并延长交BC于点E.(1)求BE:EC的值;(2)若BE=2EC,那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系?证明你
题目详情
如图,在△ABC中,AC=BC,F为边AB上的一点,BF:AF=m:n(m、n>0),取CF的中点D,连结AD并延长交BC于点E.
(1)求BE:EC的值;
(2)若BE=2EC,那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系?证明你的结论.
(3)E点能否成为BC中点?若能,求出相应的m:n,若不能,证明你的结论.
(1)求BE:EC的值;
(2)若BE=2EC,那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系?证明你的结论.
(3)E点能否成为BC中点?若能,求出相应的m:n,若不能,证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图,过点F作FG∥BC交AE于G,
则∠DFG=∠DCE,∠DGF=∠DEC,
∵D是CF的中点,
∴CD=DF,
在△DCE和△DFG中,
,
∴△DCE≌△DFG(ASA),
∴EC=GF,
∵BF:AF=m:n,
∴
=
,
∵FG∥BC,
∴△AFG∽△ABE,
∴
=
=
,
∴BE:EC=
;
(2)若BE=2EC,则BE:EC=2,
由(1)知,
=2,
解得m=n,
∴点F是AB的中点,
∵AC=BC,
∴CF⊥AB;
(3)不能.
理由如下:假设点E能成为BC中点,
则BE=EC,
∴BE:EC=1,
由(1)知
=1,
解得m=0,
这与m、n>0相矛盾,
所以,点E不能成为BC中点.
则∠DFG=∠DCE,∠DGF=∠DEC,
∵D是CF的中点,
∴CD=DF,
在△DCE和△DFG中,
|
∴△DCE≌△DFG(ASA),
∴EC=GF,
∵BF:AF=m:n,
∴
AF |
AB |
n |
m+n |
∵FG∥BC,
∴△AFG∽△ABE,
∴
AF |
AB |
FG |
BE |
n |
m+n |
∴BE:EC=
m+n |
n |
(2)若BE=2EC,则BE:EC=2,
由(1)知,
m+n |
n |
解得m=n,
∴点F是AB的中点,
∵AC=BC,
∴CF⊥AB;
(3)不能.
理由如下:假设点E能成为BC中点,
则BE=EC,
∴BE:EC=1,
由(1)知
m+n |
n |
解得m=0,
这与m、n>0相矛盾,
所以,点E不能成为BC中点.
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