如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.

Question

如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.

(1)求证:DE∥平面BCP.
(2)求证:四边形DEFG为矩形.
(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.

Answer 1

（1）见解析  （2）见解析 （3）存在，理由见解析

证明:(1)因为D,E分别为AP,AC的中点,
所以DE∥PC.
又因为DE⊄平面BCP,所以DE∥平面BCP .

(2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,
所以DE∥PC∥FG,
DG∥AB∥EF,
所以四边形DEFG为平行四边形.
又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG,
所以四边形DEFG为矩形.
(3)解:存在点Q满足条件,理由如下:
连接DF,EG,设Q为EG的中点.
由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG= EG.
分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.
与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,
且QM=QN= EG,
所以Q为满足条件的点.