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(2014•昌平区二模)探究如图1,在△ABC中,D是AB边的中点,AE⊥BC于点E,BF⊥AC于点F,AE,BF相交于点M,连接DE,DF.则DE,DF的数量关系为.拓展如图2,在△ABC中,CB=CA,点D是AB
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(2014•昌平区二模)【探究】如图1,在△ABC中,D是AB边的中点,AE⊥BC于点E,BF⊥AC于点F,AE,BF相交于点M,连接DE,DF.则DE,DF的数量关系为______.
【拓展】如图2,在△ABC中,CB=CA,点D是AB边的中点,点M在△ABC的内部,且∠MBC=∠MAC.过点M作ME⊥BC于点E,MF⊥AC于点F,连接DE,DF.求证:DE=DF;
【推广】如图3,若将上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”,其他条件不变,试探究DE与DF之间的数量关系,并证明你的结论.
【拓展】如图2,在△ABC中,CB=CA,点D是AB边的中点,点M在△ABC的内部,且∠MBC=∠MAC.过点M作ME⊥BC于点E,MF⊥AC于点F,连接DE,DF.求证:DE=DF;
【推广】如图3,若将上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”,其他条件不变,试探究DE与DF之间的数量关系,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
【探究】DE=DF.
【拓展】如图2,连接CD.
∵在△A B C中,C B=C A,
∴∠CAB=∠CBA.
∵∠MBC=∠MAC,
∴∠MAB=∠MBA,
∴AM=BM.
∵点 D是 边 AB的 中点,
∴点M在CD上,
∴CM平分∠FCE.
∴∠FCD=∠ECD.
∵ME⊥BC于E,MF⊥AC于F,
∴MF=ME.
在△CMF和△CME中,
∴△CMF≌△CME(SAS).
∴CF=CE.
在△CFD与△CED中
∴△CFD≌△CED(SAS).
∴DE=DF,
【推广】DE=DF.
如图3,作AM的中点G,BM的中点H.
∵点 D是 边 AB的 中点,
∴DG∥BM,DG=
BM.
同理可得:DH∥AM,DH=
AM.
∵ME⊥BC于E,H 是BM的中点,
∴在Rt△BEM中,HE=
BM=BH.
∴DG=HE,
同理可得:DH=FG.
∵DG∥BM,DH∥GM,
∴四边形DHMG是平行四边形.
∴∠DGM=∠DHM.
∵∠MGF=2∠MAC,∠MHE=2∠MBC,
又∵∠MBC=∠MAC,
∴∠MGF=∠MHE.
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.
∴∠DGF=∠DHE,
在△DHE与△FGD中,
∴△DHE≌△FGD(sas),
∴DE=DF.
【拓展】如图2,连接CD.
∵在△A B C中,C B=C A,
∴∠CAB=∠CBA.
∵∠MBC=∠MAC,
∴∠MAB=∠MBA,
∴AM=BM.
∵点 D是 边 AB的 中点,
∴点M在CD上,
∴CM平分∠FCE.
∴∠FCD=∠ECD.
∵ME⊥BC于E,MF⊥AC于F,
∴MF=ME.
在△CMF和△CME中,
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∴△CMF≌△CME(SAS).
∴CF=CE.
在△CFD与△CED中
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∴△CFD≌△CED(SAS).
∴DE=DF,
【推广】DE=DF.
如图3,作AM的中点G,BM的中点H.
∵点 D是 边 AB的 中点,
∴DG∥BM,DG=
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2 |
同理可得:DH∥AM,DH=
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∵ME⊥BC于E,H 是BM的中点,
∴在Rt△BEM中,HE=
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∴DG=HE,
同理可得:DH=FG.
∵DG∥BM,DH∥GM,
∴四边形DHMG是平行四边形.
∴∠DGM=∠DHM.
∵∠MGF=2∠MAC,∠MHE=2∠MBC,
又∵∠MBC=∠MAC,
∴∠MGF=∠MHE.
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.
∴∠DGF=∠DHE,
在△DHE与△FGD中,
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∴△DHE≌△FGD(sas),
∴DE=DF.
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