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如图，已知放在同一平面上的两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的侧棱长都相等．若AB=6，二面角P-BD-S的余弦值为13．（
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如图，已知放在同一平面上的两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的侧棱长都相等．若AB=6，二面角P-BD-S的余弦值为
（Ⅰ）求证：PB⊥平面PAD； （Ⅱ）求多面体SPABC的体积..  |
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ） 分别作出两个正三棱锥的高PN、SM，连接AC交BD于O，连接OP、OS ∵△ADB与△BCD都是正三角形 ∴四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，可得AC、DB互相垂直平分 ∵△PBD中，PB=PD，O为BD中点 ∴PO⊥BD， 同理，SO⊥BD，可得∠POS为二面角P-BD-S的平面角 ∵ON=
∵四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°， ∴AC=
∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥 ∴两条高PN、SM平行且相等 可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2
∵两个正三棱锥的侧棱长都相等 ∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=
可得OP=OS=3 ∵Rt△POB中， OB=
∴PB=
在△PDB中，PB 2 +PD 2 =36=BD 2 ∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD 同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P ∴PB⊥平面PAD （Ⅱ）由（I）得PA=PB= 3
∴Rt△PAN中，高PN=
因此，正三棱锥P-ABD的体积 V=
∴多面体SPABC的体积为V 1 =2× 18
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