如图所示，在△ABC中，AB=AC，有一个圆内切于△ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是△ABC的内心．

Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，有一个圆内切于△ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是△ABC的内心．

Answer 1

证明：设小圆圆心为O₁，⊙O₁与△ABC的外接圆切于D，连AO₁，
则AO₁⊥PQ，△ABC为等腰三角形，
∴AO₁过△ABC的外接圆，D在AO₁的延长线上，
∴O为△ABC的顶角∠BAC的平分线的点，
连接OB、PD、QD，
由对称性可知，OD平分∠PDQ，
∵∠APQ=∠PDQ，PQ∥BC，
∴∠APQ=∠ABC，∠PDQ=∠ABC，
∵P、B、D、O四点共圆，
∴∠PBO=∠PDO=(1)/(2)∠PDQ，
∴∠PBO=(1)/(2)∠ABC．
∴O为△ABC的内心．