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已知A、B为双曲线E的左右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为.
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已知A、B为双曲线E的左右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为___.
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答案和解析
设双曲线方程为
-
=1(a>0,b>0),![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/14/1534219749-4963.jpg)
如图所示,|AB|=|BM|,∠AMB=120°,
过点M作MN⊥x轴,垂足为N,则∠MBN=60°,
在Rt△BMN中,|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°,
即有|BN|=2acos60°=a,|MN|=2asin60°=
a,
故点M的坐标为M(2a,
a),
代入双曲线方程得
-
=1,
即为a2=b2,即c2=2a2,
则e=
=
.
故答案为:
.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/14/1534219749-4963.jpg)
如图所示,|AB|=|BM|,∠AMB=120°,
过点M作MN⊥x轴,垂足为N,则∠MBN=60°,
在Rt△BMN中,|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°,
即有|BN|=2acos60°=a,|MN|=2asin60°=
3 |
故点M的坐标为M(2a,
3 |
代入双曲线方程得
4a2 |
a2 |
3a2 |
b2 |
即为a2=b2,即c2=2a2,
则e=
c |
a |
2 |
故答案为:
2 |
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