已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为．

Question

已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为___．

Answer 1

设双曲线方程为(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0），
如图所示，|AB|=|BM|，∠AMB=120°，
过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，
在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=2a，∠MBN=60°，
即有|BN|=2acos60°=a，|MN|=2asin60°=√(3)a，
故点M的坐标为M（2a，√(3)a），
代入双曲线方程得(4a2)/(a2)-(3a2)/(b2)=1，
即为a²=b²，即c²=2a²，
则e=(c)/(a)=√(2)．
故答案为：√(2)．