已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A．14B．13C．24D．23

Question

已知双曲线C的离心率为2，焦点为F₁、F₂，点A在C上，若|F₁A|=2|F₂A|，则cos∠AF₂F₁=（　　）

A．(1)/(4)
B．(1)/(3)
C．(√(2))/(4)
D．(√(2))/(3)

Answer 1

∵双曲线C的离心率为2，
∴e=(c)/(a)＝2，即c=2a，
点A在双曲线上，
则|F₁A|-|F₂A|=2a，
又|F₁A|=2|F₂A|，
∴解得|F₁A|=4a，|F₂A|=2a，||F₁F₂|=2c，
则由余弦定理得cos∠AF₂F₁=(|AF2|2+|F1F2|2−|AF1|2)/(2|AF2|•|F1F2|)=(4a2+4c2−16a2)/(2×2a×2c)＝(4c2−12a2)/(8ac)=(c2−3a2)/(2ac)＝(4a2−3a2)/(4a2)＝(a2)/(4a2)＝(1)/(4)，
故选：A．