某人做独立重复射击，每次击中目标的概率为p，直到第X次射击才击中．现取简单随机样本（X1，X2，…Xn），求参数p的矩估计和最大似然估计．

Question

某人做独立重复射击，每次击中目标的概率为p，直到第X次射击才击中．现取简单随机样本（X₁，X₂，…X_n），求参数p的矩估计和最大似然估计．

Answer 1

（1）由于P{X＝xi}＝(1−p)xi−1p，因此
EX＝

n

k＝1

kP{X＝k}=

n

k＝1

k•(1−p)k−1p＝(1)/(p)
所以p矩＝(1)/(.X)
（2）由上知，似然函数为
L(θ)＝

n

i＝1

P(Xi＝xi)＝

n

i＝1

(1−p)xi−1p，xi≥1

0，其他

＝

(1−p)

n

i＝1

xi−npn，xi≥1

0，其他

因此lnL(p)＝(

n

i＝1

xi−n)ln(1−p)+nlnp
令