过抛物线焦点的一条线与它交于两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M求证直线MQ平行于抛物线的对称轴

Question

过抛物线焦点的一条线与它交于两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M
求证直线MQ平行于抛物线的对称轴

Answer 1

设抛物线焦点为F,P、Q到准线距离分别为p,q
则：PF=p,QF=q
作PN⊥准线于N,QM⊥准线于M,连PM,交x轴于O1,
设FO1=a
则：|FO1|/|MQ|=|PF|/|PQ|
即：|FO1|/q=p/(p+q)
|FO1|=pq/(p+q)
|MO1|/|PN|=|QF|/|PQ|
即：|MO1|/p=q/(p+q)
|MO1|=pq/(p+q)
所以：|MO1|=|FO1|
所以,O1与O重合
所以,PO连线与准线的交点Q,满足PQ⊥准线
即：直线MQ平行于抛物线的对称轴