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设函数f(x)可导,且f(0)=0,F(x)=∫x0tn-1f(xn-tn)dt,求limx→0F(x)x2n.
题目详情
设函数f(x)可导,且f(0)=0,F(x)=
tn-1f(xn-tn)dt,求
.
∫ | x 0 |
lim |
x→0 |
F(x) |
x2n |
▼优质解答
答案和解析
∵F(x)=
tn−1f(xn−tn)dt=−
f(xn−tn)d(xn−tn),
令:u=xn-tn,则:
F(x)=−
f(u)du=
f(u)du,
∴
=
=
=
=
=
.
∵F(x)=
∫ | x 0 |
1 |
n |
∫ | x 0 |
令:u=xn-tn,则:
F(x)=−
1 |
n |
∫ | 0 xn |
1 |
n |
∫ | xn 0 |
∴
lim |
x→0 |
F(x) |
x2n |
lim |
x→0 |
| ||||
x2n |
=
1 |
n |
lim |
x→0 |
nxn−1f(xn) |
2nx2n−1 |
=
1 |
2n |
lim |
x→0 |
f(xn) |
xn |
=
1 |
2n |
lim |
x→0 |
f(xn)−f(0) |
xn |
=
f′(0) |
2n |
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