如图四边形PDCE是正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，且平面PDCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求证：直线PC⊥平面ADE；（Ⅲ）若正方形PDCE边长为2a

Question

如图四边形PDCE是正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，且平面PDCE⊥平面ABCD．

（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求证：直线PC⊥平面ADE；
（Ⅲ）若正方形PDCE边长为2a，AB=AD=a，求直线BE与平面PDCE所成角的余弦．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接PC∩DE=O，连接MO，因为四边形PDCE是正方形，
所以O是PC的中点，M为PA中点，则MO∥AC，-------------------------（1分）
又MO⊂平面MDE，----------------------------（2分）
AC⊄平面MDE，----------------------------（3分）
所以AC∥平面MDE．----------------------------（4分）
（2）平面PDCE⊥平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD=CD．∠ADC=90°
所以AD⊥DC----------------------------（5分）
所以AD⊥平面PDCE----------------------------（6分）
又PC⊂平面PDCE，所以AD⊥PC----------------------------（7分）
又正方形PDCE中PC⊥DE---------------------------（8分）DE∩AD=D
所以直线PC⊥平面ADE----------------------------（9分）
（3）取AD的中点N，连接BN，则BN∥AD

则BN⊥平面PDCE----------------------------（10分）
连接NE，则NE是BE在平面PDCE内的射影，
所以∠BEN是直线BE与平面PDCE所成角----------------------------（11分）Rt△BCN中BC=√(BN2+CN2)=√(2)aRt△BCE中BE=√(BC2+CE2)=√(6)a
所以Rt△BEN中sin∠BEN=(BN)/(BE)=(√(6))/(6)----------------------------（12分）
直线BE与平面PDCE所成角的余弦为(√(30))/(6)----------------------------（13分）