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如图,已知P为∠AOB的边OA上的一点,且OP=2.以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M,N两点,且∠MPN=∠AOB=60°.当∠MPN以点P为旋转中心,PM边与PO重合的位置开始,按逆时针方向旋转(∠MPN
题目详情
如图,已知P为∠AOB的边OA上的一点,且OP=2.以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M,N两点,且∠MPN=∠AOB=60°.当∠MPN以点P为旋转中心,PM边与PO重合的位置开始,按逆
时针方向旋转(∠MPN保持不变)时,M,N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动.设OM=x,ON=y(y>x>0),△POM的面积为S.
(1)判断:△OPN与△PMN是否相似,并说明理由;
(2)写出y与x之间的关系式;
(3)试写出S随x变化的函数关系式,并确定S的取值范围.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/15/1534296343-1942.jpg)
(1)判断:△OPN与△PMN是否相似,并说明理由;
(2)写出y与x之间的关系式;
(3)试写出S随x变化的函数关系式,并确定S的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)△OPN∽△PMN.
证明:在△OPN和△PMN中,
∠PON=∠MPN=60°,∠ONP=∠PNM,
∴△OPN∽△PMN;
(2)∵MN=ON-OM=y-x,
∵△OPN∽△PMN,
∴
=
,
∴PN2=ON•MN=y(y-x)=y2-xy.![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/15/1534296343-4610.jpg)
过P点作PD⊥OB,垂足为D.
在Rt△OPD中,
OD=OP•cos60°=2×
=1,PD=POsin60°=
,
∴DN=ON-OD=y-1.
在Rt△PND中,
PN2=PD2+DN2=(
)2+(y-1)2=y2-2y+4,
∴y2-xy=y2-2y+4,
即y=
;
(3)在△OPM中,OM边上的高PD为
,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/15/1534296343-2299.jpg)
∴S=
•OM•PD=
•x•
=
x,
∵y>0,
∴2-x>0,即x<2.
又∵x>0,
∴x的取值范围是0<x<2.
∵S是x的正比例函数,且比例系数
>0,
∴0<S<
×2,
即0<S<
.
证明:在△OPN和△PMN中,
∠PON=∠MPN=60°,∠ONP=∠PNM,
∴△OPN∽△PMN;
(2)∵MN=ON-OM=y-x,
∵△OPN∽△PMN,
∴
PN |
MN |
ON |
PN |
∴PN2=ON•MN=y(y-x)=y2-xy.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/15/1534296343-4610.jpg)
过P点作PD⊥OB,垂足为D.
在Rt△OPD中,
OD=OP•cos60°=2×
1 |
2 |
3 |
∴DN=ON-OD=y-1.
在Rt△PND中,
PN2=PD2+DN2=(
3 |
∴y2-xy=y2-2y+4,
即y=
4 |
2−x |
(3)在△OPM中,OM边上的高PD为
3 |
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/15/1534296343-2299.jpg)
∴S=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
| ||
2 |
∵y>0,
∴2-x>0,即x<2.
又∵x>0,
∴x的取值范围是0<x<2.
∵S是x的正比例函数,且比例系数
| ||
2 |
∴0<S<
| ||
2 |
即0<S<
3 |
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