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如图P是△ABC所在平面外一点,PA=PB,CB⊥平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的点,AN=3NB.求证:MN⊥AB.
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如图P是△ABC所在平面外一点,PA=PB,CB⊥平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的点,AN=3NB.求证:MN⊥AB.
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▼优质解答
答案和解析
证明:取AB中点Q,连接PQ,CQ,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/15/1534345024-2421.jpg)
因为CB⊥平面PAB,
则PQ⊥BC,又PA=PB,所以PQ⊥AB,
于是PQ⊥平面ABC,所以∠PQC=90°,
因为M是PC中点,所以MQ=
PC,
又因为∠CBP=90°,所以MB=
PC,所以MB=MQ;
而N是BQ的中点,所以MN⊥AB.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/15/1534345024-2421.jpg)
因为CB⊥平面PAB,
则PQ⊥BC,又PA=PB,所以PQ⊥AB,
于是PQ⊥平面ABC,所以∠PQC=90°,
因为M是PC中点,所以MQ=
1 |
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又因为∠CBP=90°,所以MB=
1 |
2 |
而N是BQ的中点,所以MN⊥AB.
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