设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角．（1）求B-A的值；（2）求sinA+sinC的取值范围．

Question

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角．
（1）求B-A的值；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得a=btanA，
∴由正弦定理得sinA=sinB•(sinA)/(cosA)，则sinB=cosA，
∵B为钝角，∴B=(π)/(2)+A，
∴B-A=(π)/(2)；
（2）由（1）知C=π-（A+B）=π-（A+(π)/(2)+A）=(π)/(2)-2A>0，
∴A∈（0，(π)/(4)），
∴sinA+sinC=sinA+sin（(π)/(2)-2A）
=sinA+cos2A=sinA+1-2sin²A
=-2（sinA-(1)/(4)）²+(9)/(8)，
∵A∈（0，(π)/(4)），∴0<sinA<(√(2))/(2)，
∴由二次函数可知，(√(2))/(2)<-2（sinA-(1)/(4)）²+(9)/(8)≤(9)/(8)，
∴sinA+sinC的取值范围为（(√(2))/(2)，(9)/(8)]