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如图,正方形被两条与边平行的线段EF,GH分割成四个小矩形,P是EF与GH的交点,若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍,试确定∠HAF的大小并证明你的结论.
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如图,正方形被两条与边平行的线段EF,GH分割成四个小矩形,P是EF与GH的交点,若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍,试确定∠HAF的大小并证明你的结论.
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▼优质解答
答案和解析
如图,连结FH,延长CB到M,使BM=DH,连结AM,
∵Rt△ABM≌Rt△ADH,
∴AM=AH,∠MAB=∠HAD,
∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°,
如图设正方形边长为a,AG=m,GP=n,则FC=a-n,CH=a-m,
因为面积是二倍所以列式得到:a2-(m+n)a+mn=2mn,
在直角三角形FCH中FH2=(a-n)2+(a-m)2,将上面的式子联立得到:
FH2=MF2=(m+n)2,即得到FH=MF,
∵AF=AF,AH=AM,
∴△AMF≌△AHF,
∴∠MAF=∠HAF,
∴∠HAF=∠MAF=45°.
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∵Rt△ABM≌Rt△ADH,
∴AM=AH,∠MAB=∠HAD,
∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°,
如图设正方形边长为a,AG=m,GP=n,则FC=a-n,CH=a-m,
因为面积是二倍所以列式得到:a2-(m+n)a+mn=2mn,
在直角三角形FCH中FH2=(a-n)2+(a-m)2,将上面的式子联立得到:
FH2=MF2=(m+n)2,即得到FH=MF,
∵AF=AF,AH=AM,
∴△AMF≌△AHF,
∴∠MAF=∠HAF,
∴∠HAF=∠MAF=45°.
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