椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（1，32），离心率为12，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面积为1227时，求l的方程．

Question

椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1过点A（1，(3)/(2)），离心率为(1)/(2)，左右焦点分别为F₁、F₂．过点F₁的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）当△F₂AB的面积为(12√(2))/(7)时，求l的方程．

Answer 1

（1）∵椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1过点A(1，(3)/(2))，
∴(1)/(a2)+(9)/(4b2)＝1…（1分）
∵离心率为(1)/(2)，∴(c)/(a)＝(1)/(2)，…（2分）
又∵a²=b²+c²…（3分）
解①②③得a²=4，b²=3…（4分）
∴椭圆C的方程为：(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1…（6分）
（2）由（1）得F₁（-1，0）
①当l的倾斜角是(π)/(2)时，l的方程为x=-1，焦点A(−1，(3)/(2))，B(−1，−(3)/(2))
此时s△ABF2＝(1)/(2)|AB|×|F1F2|＝(1)/(2)×3×2＝3≠(12√(2))/(7)，不合题意．…（7分）
②当l的倾斜角不是(π)/(2)时，设l的斜率为k，
则其直线方程为y=k（x+1）
由

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

y＝k(x+1)

，消去y得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2＝−(8k2)/(4k2+3)，x1x2＝(4k2−12)/(4k2+3)…（9分）
∴S△F2AB＝S△F1F2B+S△F1F2A＝(1)/(2)|F1F2|(|y1|+|y2|)
=(1)/(2)×2|y1−y2|＝|k(x1+1)−k(x2+1)|
=|k|√(|x1−x2|2)＝|k|√((x1+x2)2−4x1x2)
=|k|√((−(8k2)/(4k2+3))2−4×(4k2−12)/(4k2+3))＝(12|k|√(k2+1))/(4k2+3)…（10分）  
又已知S△F2AB＝(12√(2))/(7)，
∴(12|k|√(k2+1))/(4k2+3)＝(12√(2))/(7)⇒17k4+k2−18＝0，
∴（k²-1）（17k²+18）=0，
∴k²-1=0，解得k=±1，
故直线l的方程为y=±1（x+1），
即x-y+1=0或x+y+1=0．…（13分）