人追乌龟的数学题乌龟先行十米,人再和乌龟一起同方向行,人的速度是乌龟的十倍.当人走完十米后乌龟行一米,人行一米后乌龟行一帆分米!人能追上乌龟吗?

Question

人追乌龟的数学题
乌龟先行十米,人再和乌龟一起同方向行,人的速度是乌龟的十倍.当人走完十米后乌龟行一米,人行一米后乌龟行一帆分米!人能追上乌龟吗?

Answer 1

你说的这是一个哲学问题,是历史上有名的“芝诺悖论”之一,属于古希腊诡辩术的范畴,上面那位朋友说：“这个问题源于15世纪的英国”是有误的,最早亚里士多德就对这个悖论提出批评和分析.这个问题的基本表述是：“阿喀琉斯（一译阿基里斯,古希腊有名的赛跑高手）追不上乌龟”,芝诺对这个说法的解释是：快跑者永远赶不上慢跑者,因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点,而当它到达被追者的出发点,又有新的出发点在等着它,有无限个这样的出发点,那么快跑者永远赶不上慢跑者.
一、“芝诺悖论”中的错误之处
芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度方法：通常情况下我们用来测量时间的“钟”都是依靠一种周期性的过程作为标准的,比如太阳每天的东升西落,月亮的圆缺变化,一年四季的推移,钟摆的运动等等,人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的；芝诺悖论中除了普通的钟以外,还有另一种很特别的“钟”,就是用阿基里斯每次到达龟上次乌到达的位置作为一个循环.我们将芝诺悖论中的这种计时方法称为 “芝诺时”,例如,当阿基里斯第n次到达乌龟的第n次起点时,芝诺时记为n.
“芝诺时”的计时过程实际上是一个对有限时间的无限分割过程,因此芝诺悖论的产生原因涉及到无限分割的求和问题(即无穷级数的求和问题)：对于阿喀琉斯而言,他虽然要无数次的到达某个起始点,但它所走的空间距离并不是一个无限量,而是一个有限数,对于有限的距离,当然可以在有限的时间内到达并穿过.
问题阐述到这里我们似乎得到问题的答案：悖论之悖在于把“经历无限之点”与“经历无限之距离”混为一谈,只要澄清了这一点,悖论就自然消除了.
实际上我们还可以从一个宏观的角度理解这个问题：“芝诺悖论”体现了时间与空间的矛盾,时间只是人为的刻度,它是可以无限分割的；空间却是物质运动的刻度,它并不能进行无限分割.“芝诺悖论”的错误就在于它同时对时间和空间进行了无穷分割.
（注：实际上“芝诺悖论” 有好多个,最著名的是“二分法问题”、“阿基里斯问题”、“飞矢不动”、“运动场问题”,以上的描述中的“芝诺悖论”就是指“阿基里斯问题”）
二、“芝诺悖论”的分析之惑
上面的描述是目前对“芝诺悖论”解决方法的大致描述,实际上对这个问题的解决我个人认为目前还有很多不清楚的地方【这里补充一点,写这段文字我主要参考了《芝诺悖论今昔谈》（《哲学动态》1992年第12期）,但是这篇文章对问题的解答的最后似乎又回到了问题的起点,即又抛出了“超级任务无法完成”的观点】.
下面谈谈我对这个问题的思考：
“芝诺悖论”的描述中有一个基本条件,就是阿基里斯永远在乌龟身后,那么“快跑者永远赶不上慢跑者”,但是这里我们应该注意的是“快跑者”并没有以他应有的速度持续追赶,而是越来越慢,就比如函数y=1/x永远不会与x轴相交,因为y=1/x的导数（-1/x^2）是越来越小的.
认为“芝诺悖论”是错误的人们的主要论据是“有限距离可以在有限时间内穿越”,这里也有一个隐含条件：“快跑者”的速度始终保持在一个相当的数值,比如函数y=1-x会与x轴有交点,因为y=1-x的导数保持在-1,这里的“-1”就是所谓的“速度始终保持在一个相当的数值”.
这样我们看出“芝诺悖论”与“‘芝诺悖论’的解决”实际上二个不同的命题,“芝诺悖论”是“有限距离的‘无穷小变速度’的运动”；“‘芝诺悖论’的解决”则是“有限距离的‘有限值速度’的运动”.（搞哲学的朋友可否告知,这个观点是否原创?呵呵）
附：“超级任务无法完成”
一小球从a处开始向b处抛动,令小球从a处抛到b处时花二分之一分钟,从b抛回a处花四分之一分钟,依此类推,要求机器在时间到达1分钟时停下来.