设0≤x≤1,p大于1,试证:1/2^(p-1)≤x^p+(1-x)^p≤1这道导数题想了很久都没想出，

Question

设0≤x≤1,p大于1,试证:1/2^ (p-1)≤x^p+(1-x)^p≤1
这道导数题想了很久都没想出，

Answer 1

设f(x) = x^p+(1-x)^p,则
f'(x) = (p-1)x^(p-1) - (p-1)(1-x)^(p-1)
= (p-1)[x^(p-1) - (1-x)^(p-1)]
先求出f(x)在区间[0,1]两端的函数值,得到
f(0)=f(1)=1
再求出f(x)在区间[0,1]内使f'(x)=0的点.得
f'(x) = (p-1)[x^(p-1) - (1-x)^(p-1)] = 0
x^(p-1) = (1-x)^(p-1)
得到x=1-x,x=1/2
得f(1/2) = 2*(1/2)^p = (1/2)^(p-1)
经检验得到f(1/2)为f(x)的一个极小值.
由于p>1,因此f(x)在[0,1]内没有不可导的点.综上所述,得到
f(x)的最小值为(1/2)^(p-1)（在x=1/2处取到）,最大值为1（在区间端点处取到）
即
(1/2)^(p-1))≤x^p+(1-x)^p≤1