已知函数f（x）=ax+1−xax（a＞0）．（1）用单调性的定义判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明；（2）设f（x）在0＜x≤1的最小值为g（a），求y=g（a）的解析式．

Question

已知函数f（x）=ax+(1−x)/(ax)（a＞0）．
（1）用单调性的定义判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明；
（2）设f（x）在0＜x≤1的最小值为g（a），求y=g（a）的解析式．

Answer 1

（1）f（x）=ax+(1)/(ax)-(1)/(a)
f（x）在（0，(1)/(a)）上是单调递减的，在（(1)/(a)，+∞）上单调递增的；
理由如下：设x₁，x₂是（0，(1)/(a)）上的任意两个值，且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，
△y=f（x₂）-f（x₁）=ax₂+(1)/(ax2)-ax₁-(1)/(ax1)=a（x₂-x₁）+(1)/(ax2)-(1)/(ax1)
=a（x₂-x₁）+(x1−x2)/(ax1x2)=（x₂-x₁）（a-(1)/(ax1x2)）
=（x₂-x₁）•(a2x1x2−1)/(ax1x2)
∵0＜x₁＜(1)/(a)，0＜x₂＜(1)/(a)∴0＜x₁x₂＜(1)/(a2)∴0＜ax₁x₂＜1，
ax₁x₂-1＜0   又△x=x₂-x₁＞0，ax₁x₂＞0，
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x）在（0，(1)/(a)）上是单调递减，同理可证f（x）在（(1)/(a)，+∞）上单调递增； 
（2）当0＜(1)/(a)≤1即a≥1时，f（x）在（0，1]上单调递减，
∴f_min（x）=f（1）=a；
当(1)/(a)＞1即0＜a＜1时，f（x）在（0，(1)/(a)]单调递减，在[(1)/(a)，1]单调递增，
∴f_min（x）=f（(1)/(a)）=2-(1)/(a)
∴g（a）=

a，a≥1

2−(1)/(a)，0＜a＜1

．