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设A=1−12a1cb−24，存在秩大于1的3阶矩阵B，使得BA=0．①求a，b，c；②求A的特征值和它们的重数；③作3阶可逆矩阵P，使得P-1AP是对角矩阵．
题目详情
设A=
，存在秩大于1的3阶矩阵B，使得BA=0．
①求a，b，c；
②求A的特征值和它们的重数；
③作3阶可逆矩阵P，使得P-1AP是对角矩阵．
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①求a，b，c；
②求A的特征值和它们的重数；
③作3阶可逆矩阵P，使得P-1AP是对角矩阵．
▼优质解答
答案和解析
①由于BA=0，且A非零和r（B）＞1，
因此r（A）+r（B）＜3
∴r（A）＜3-r（B）=1
∴A三行是对应成比例的
∴
＝
＝
，
＝
解得：a=-1，b=2，c=-2．
②由于A＝
，因而A的特征多项式为
|λE−A|＝
=λ2（λ-6）=0
解得，特征值为：0（2重），6（1重）．
③当λ=0时，解AX=0，得基础解系：p1＝(1，1，0)T，p2＝(−2，0，1)T
当λ=6时，解（6E-A）X=0，得基础解系：p3＝(1，−1，2)T
∴存在可逆矩阵P＝
因此r（A）+r（B）＜3
∴r（A）＜3-r（B）=1
∴A三行是对应成比例的
∴
| 1 |
| a |
| −1 |
| 1 |
| 2 |
| c |
| 1 |
| b |
| −1 |
| −2 |
解得：a=-1，b=2，c=-2．
②由于A＝
|
|λE−A|＝
|
解得，特征值为：0（2重），6（1重）．
③当λ=0时，解AX=0，得基础解系：p1＝(1，1，0)T，p2＝(−2，0，1)T
当λ=6时，解（6E-A）X=0，得基础解系：p3＝(1，−1，2)T
∴存在可逆矩阵P＝
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