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设A,B都是n阶矩阵,求证:若AB=A+B,则AB=BA
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设A,B都是n阶矩阵,求证:若AB=A+B,则AB=BA
▼优质解答
答案和解析
A+B=AB,即：
AB-A-B+E=E
(A-E)(B-E)=E
所以A-E可逆,它的逆就是B-E
既然这两个是互逆的,那么当然就可以交换位置,从而结论就的出来了.
由(A-E)(B-E)=E可得(B-E)(A-E)=E,拆开来就是BA-B-A+E=E,放回去就是BA=B+A=A+B=AB
证毕
AB-A-B+E=E
(A-E)(B-E)=E
所以A-E可逆,它的逆就是B-E
既然这两个是互逆的,那么当然就可以交换位置,从而结论就的出来了.
由(A-E)(B-E)=E可得(B-E)(A-E)=E,拆开来就是BA-B-A+E=E,放回去就是BA=B+A=A+B=AB
证毕
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