三阶方阵求其特征值,需要解一个三阶方阵行列式等于零的方程,而且对角元都带未知数.怎么解这个方程?求一般方法,把未知数放在哪,怎么消掉等等.或者通过初等变换的方法得出来也行.别说

Question

三阶方阵求其特征值,需要解一个三阶方阵行列式等于零的方程,而且对角元都带未知数.怎么解这个方程?
求一般方法,把未知数放在哪,怎么消掉等等.或者通过初等变换的方法得出来也行.
别说乘开再因式分解.

Answer 1

到百度文库去下载一篇文章,名曰《特征值新求法》,讲到了5种.
在百度文库或百度搜索
特征值新求法
可以找到这篇.
方法A（我参考有关资料,略有补充）
是利用特征值的定义,先求|kE-A|=0解出特征值k,再据(kE-A)x=0求出特征向量x.
这种方法之中,求|kE-A|其实也有几种套路.
首先注意|kE-A|=(-1)^3*|A-kE|,|kE-A|=0|A-kE|=0;
还可以取s=-k,先解出|A+sE|=0,再取-s为特征值.这当然只是细节.其它见下面：
方法A1：利用对角线法则或按行列展开是最基本的；
方法A2：设法进行初等变换使之能提取公因式,这种方法不一定牢靠,因为有些行列式不一定能分解,但一般出题时是不会出这么难的,会给你分解因式的机会的,可以试一试；
方法A3：
如果A是3阶矩阵,|λE-A|=λλλ-tr(A)λλ+tr(A*)λ-det(A).
其中：
tr(A)=一阶主子式之和,即主对角线元素之和,称为矩阵的迹.
tr(A*)=二阶主子行列式之和,对于三阶矩阵,同时也是主对角线元素的余子式之和,也等于A的伴随阵的行列式.A*表示A的伴随阵.det(A)即|A|,对于n阶矩阵,|A|就是唯一的一个n阶主子式.
主子式：取对称位置的元素(当然也包括对角线上的)所构成的(方阵的)行列式.
或者说,对角线是原方阵的对角线元素的子集的(方阵的)行列式.
推广到n阶方阵：|λE-A|=λ^n+(-1)^k*(A的所有k阶主子式之和)*λ^(n-k).
例如：
如果A是1阶矩阵(a),|λE-A|=λ-a,易见特征值就是a.
如果A是2阶矩阵,|λE-A|=λλ-tr(A)λ+det(A).
如果A是4阶矩阵,|λE-A|=λλλλ-tr(A)λλλ+cλλ-tr(A*)λ+det(A),
其中c是所有二阶主子式之各,另外有c = ((tr(A))^2-tr(AA))/2.
方法B、C：
方法B：幂法,方法C：反幂法,利用迭代来求解特征值,适于数值计算.
方法D：
列行互逆变换法.
方法E：
列初等变换法.
其中方法A3,D,E可以考虑.试试看?