四棱锥p-abcd中底面abcd为菱形,pa⊥底面abcd,ac等于2√2pa等于2,为pc上一点,且pe等于2ec,1.证明pc⊥平面bed2.设二面角a-pb-c为90度,求pd与平面pbc所成角的大小

Question

四棱锥p-abcd中底面abcd为菱形,pa⊥底面abcd,ac等于2√2pa等于2,为pc上一点,且pe等于2ec,1.证明pc⊥平面bed 2.设二面角a-pb-c为90度,求pd与平面pbc所成角的大小

Answer 1

(1)连接BD交AC於O,连接OE
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD
∵PA⊥面ABCD,∴PC在面ABCD的射影是AC
∴BD⊥PC
OC=AC/2=√2,PA⊥AC,勾股定理得PC=2√3
∵PE=2EC,∴CE=2√3/3
∵OC/CE=PC/CA=√6/2,∠OCE=∠PCA
∴△OCE∽△PCA,∴∠OEC=∠PAC=90°,即OE⊥PC
∵OE包含于面BDE,OE∩BD=O
∴PC⊥面BDE
(2)∵PA⊥面ABCD,∴面PAC⊥面ABCD
作OM⊥AC交PC於M,则OM⊥面ABCD,OM=AP/2=1
∴OM,AC,BD两两垂直
以O为原点,OB,OC,OM为坐标轴正向建立直角坐标系,并设OB=a(a>0)
则B(a,0,0),C(0,√2,0),M(0,0,1)
∵M∈面PBC,∴截距式,面PBC的方程为x/a+y/√2+z=1,即√2x+ay+√2az-√2a=0
∴面PBC的法向量n1→=(√2,a,√2a)
A(0,-√2,0),P(0,-√2,2),∴AP→=(0,0,2),AB→=(a,√2,0)
∴面PAB的法向量n2→=AP→×AB→=(-2√2,2a,0)
∵二面角A-PB-C为90°,即面PAB⊥面PBC
∴有n1→·n2→=0
解得a=1
∴n1→=(√2,1,√2),D(-1,0,0),∴PD→=(-1,√2,-2)
设PD与面PBC所成角为θ,则sinθ=|cos|
=|(-√2+√2-2√2)|/[√(2+1+2)*√(1+2+4)]=2√70/35
∴θ=arcsin2√70/35