正三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，已知AB=23，PA=4，则此球的表面积等于．

Question

正三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，已知AB=2√(3)，PA=4，则此球的表面积等于 ___ ．

Answer 1

设P-ABC的外接球球心为O，则O在高PH上，延长AH交BC于D点，则D为BC中点，连接OA，
∵等边三角形ABC中，H为中心
∴AH=(2)/(3)AD=(2)/(3)•(√(3))/(2)AB=(√(3))/(3)•2√(3)=2
∴Rt△PAH中，PH=√(PA2-AH2)=2√(3)
设外接球半径OA=R，则OH=2√(3)-R
在Rt△AOH中，根据勾股定理得：OH²+AH²=OA²，即（2√(3)-R）²+2²=R²，解之得R=(4√(3))/(3)
∴P-ABC的外接球的表面积为：S=4πR²=(64π)/(3)
故答案为：(64π)/(3)