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正三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上,已知AB=23,PA=4,则此球的表面积等于.

题目详情
正三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上,已知AB=2
3
,PA=4,则此球的表面积等于 ___ .
▼优质解答
答案和解析
作业帮 设P-ABC的外接球球心为O,则O在高PH上,延长AH交BC于D点,则D为BC中点,连接OA,
∵等边三角形ABC中,H为中心
∴AH=
2
3
AD=
2
3
3
2
AB=
3
3
•2
3
=2
∴Rt△PAH中,PH=
PA2-AH2
=2
3

设外接球半径OA=R,则OH=2
3
-R
在Rt△AOH中,根据勾股定理得:OH2+AH2=OA2,即(2
3
-R)2+22=R2,解之得R=
4
3
3

∴P-ABC的外接球的表面积为:S=4πR2=
64π
3

故答案为:
64π
3
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