一个矩阵A乘以一个正交矩阵B,要使他们乘积的迹最大,A可以进行SVD分解,A＝USV^T,为什么R＝VU^T时,迹最大

Question

一个矩阵A乘以一个正交矩阵B,要使他们乘积的迹最大,A可以进行SVD分解,A＝USV^T,为什么R＝VU^T时,迹最大

Answer 1

设U的行向量为X1,X2,……,Xn,V^TB的列向量为Y1,Y2,……,Yn,S的对角线上的数为c1,c2,……,cn.则
tr(AB) = sum ci*Xi*Yi = sum ci*
其中表示欧氏内积.当然,Xi和Yj^T都是正交阵的列向量,于是都是单位向量,于是
tr(AB) U^T = V^TB => VU^T = B