证明罗必达法则1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时limf'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么x→a时limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x)这个可以

Question

证明 罗必达法则
1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)
这个可以用 当x→a时 f(x)都趋于零再用柯西中值定理来证明
但是 当x→∞时,limf(a)=f(a) ,
x→a
那怎么证明x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)

Answer 1

x→∞可以把x用1/x代换,即可变为1/x→0的形式,
我们可以来算一下
x→∞,f(x)→0,F(x)→0
lim (x→∞) f(x)/F(x)
(取y=1/x)
=lim(y→0) f(1/y)/F(1/y)
(由你已经证明出来的情况得到)
=lim(y→0) f'(1/y)(-1/y^2)/[F'(1/y)(-1/y^2)]
=lim(y→0) f'(1/y)/F'(1/y)
=lim(x→∞) f'(x)/F'(x)