如图，底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V-ABCD可绕着棱AB任意旋转，若AB⊂平面α，M、N分别是AB、CD的中点，AB=2，VA=5，点V在平面α上的射影为点O，则当ON的最大时，二面角C-AB-O的大小

Question

如图，底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V-ABCD可绕着棱AB任意旋转，若AB⊂平面α，M、N分别是AB、CD的中点，AB=2，VA=

√(5)，点V在平面α上的射影为点O，则当ON的最大时，二面角C-AB-O的大小是（　　）

A. 90°

B. 105°

C. 120°

D. 135°

Answer 1

设∠VMO=θ，
则∵M、N分别是AB、CD的中点，AB=2，VA=√(5)，
∴AM=1，VM=√(VA2-AM2)=√(5-1)=√(4)=2，
MN=BC=AB=2，VN=VM=2，
则三角形VNM为正三角形，则∠NMV=60°，
则OM=2cosθ，
在三角形OMN中，
ON²=MN²+OM²-2MN•OMcos（60°+θ）=4+4cos²θ-2×2×2cosθcos（60°+θ）
=4+4cos²θ-8cosθ（(1)/(2)cosθ-(√(3))/(2)sinθ）
=4+4cos²θ-4cos²θ+4√(3)sinθcosθ
=4+2√(3)sin2θ，
∴要使ON最大，则只需要sin2θ=1，即2θ=90°即可，则θ=45°，
此时二面角C-AB-O的大小∠OMN=60°+θ=60°+45°=105°，
故选：B