一道导数题欲做一个容积为300m3的无盖圆柱形蓄水池,已知池底的单位造价为周围单位造价的2倍,问蓄水池的尺寸应该怎样设计才能使总造价最低

Question

一道导数题
欲做一个容积为300m3的无盖圆柱形蓄水池,已知池底的单位造价为周围单位造价的2倍,问蓄水池的尺寸应该怎样设计才能使总造价最低

Answer 1

设底面半径为r,高为h,侧面造价是a,底面造价是2a,则
V＝πr^2h＝300,所以,h＝300/πr^2.
总造价s＝πr^2×2a＋2πrh×a＝2aπr^2＋2πra×300/πr^2＝2aπr^2＋×600a/r
s'＝4aπr－600a/r^2,得驻点r＝[150/π]^(1/3)
s''＝4aπ＋1200a/r^3,当r＝[150/π]^(1/3)时,s''＞0,
所以r＝[150/π]^(1/3)时,总造价最低.
此时,r＝[150/π]^(1/3),h＝300/πr^2＝4×[150/π]^(1/3)＝4r
所以,当高为底面半径的4倍时,总造价最低