如图，矩形ABCD中，AD=6，CD=6+22，E为AD上一点，且AE=2，点F，H分别在边AB，CD上，四边形EFGH为矩形，点G在矩形ABCD的内部，则当△BGC为直角三角形时，AF的值是

Question

如图，矩形ABCD中，AD=6，CD=6+2 √(2)，E为AD上一点，且AE=2，点F，H分别在边AB，CD上，四边形EFGH为矩形，点G在矩形ABCD的内部，则当△BGC为直角三角形时，AF的值是___．

Answer 1

如图过点G作MN⊥AB垂足为M，交CD于N，作GK⊥BC于K．
∵四边形EFGH是矩形，
∴GH=EF，GH∥EF，∠A=90°，
∴∠DNM+∠NMA=90°，
∴∠AMN=∠DNM=90°，
∵CD∥AB，
∴∠NHG=∠AFE，
在△HNG和△FAE中，

∠HNG=∠FAE

∠NHG=∠AFE

GH=EF

，
∴△HNG≌△FAE，
∴AE=NG=2，ED=GM=4，
∵四边形NGKC、四边形GMBK都是矩形，
∴CK=GN=2，BK=MG=4，
当∠CGB=90°时，∵△CGK∽△GBK，
∴(CK)/(GK)=(GK)/(BK)，
∴GK=MB=CN=2√(2)，
∴DN=AM=AB-MB=6，
∴四边形AMND是正方形，设AF=x，则FM=6-x，
∵△AEF∽△MFG，
∴(AE)/(MF)=(AF)/(MG)，
∴(2)/(6-x)=(x)/(4)
∴x²-6x+8=0，
∴x=2或4．
∴AF=2或4．
故答案为2或4