如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E处，连结BE．（1）求证：∠BAE=2∠CBE；（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的

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如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E处，连结BE．
（1）求证：∠BAE=2∠CBE；
（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AB=5，BC=3，直接写出BG的长

．

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答案和解析

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠CBA=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形A点正好落在CD上的点E处，
∴BC=AG，∠EAG=90°，AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，
∴2∠ABE+∠BAE=180°，
∵∠CBE+∠ABE=90°，
∴2∠CBE+2∠ABE=180°，
∴∠BAE=2∠CBE．

（2）MN=

AF，
证明：过B作BO⊥AE于O，连接EG，
∵四边形AEFG是矩形，
∴AF=EG，∠MAG=∠BOM=90°，
∵∠C=∠CBA=90°，
∴∠AEB=∠ABE=90°-∠CBE，∠CEB=90°-∠CBE，
∴∠CEB=∠OEB，
在△CBE和△OBE中

∠CBE=∠OBE

∠C=∠BOE=90°

BE=BE

∴△CBE≌△OBE（AAS），
∴EC=OE，BO=BC=AD=AG，
在△BOM和△GAM中

∠AMG=BME

∠BOM=∠GAM

BO=AG

，
∴△BOM≌△GAM（AAS），
∴BM=GM，
∵点N为BE的中点，
∴MN=

EG，
∵EG=AF，
∴MN=

AF．

（3）在Rt△DEA中，∠EDA=90°，AD=BC=3，AE=AB=5，由勾股定理得：DE=4，
∵△BOM≌△GAM，△CBE≌△OBE，
∴OM=AM，EC=EO，
∴OM=

AE-OE

AB-EC

=2，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM=

BO2+OM2

32+22