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正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,N分别为BD,AB1,AB上的点,且BE:BD=1:3,AF:AB1=1:3,AN:AB=1:3.求三棱锥B-EFN的体积
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正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,N分别为BD,AB1,AB上的点,且BE:BD=1:3,AF:AB1=1:3,AN:AB=1:3.求三棱锥B-EFN的体积
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答案和解析
分别在棱AD、CD、A1D1取三点P、Q、M使得AP：AD=1：3 CQ：CD=1：3 A1M：A1D1=1：3 可以证明平面PQM与平面NEF平行 且垂直于平面BD
根据三棱锥体积相似比VB-EFN：VB-QMP=（1：3)²
在三棱锥B-QMP中 底面积S△QMP=1/2*1*（3√2/4)=3√2/8
高h=2√2/3 所以VB-QMP=1/3*S△QMP*h=1/3*3√2/8*2√2/3 =1/3
所以VB-EFN=1/9VB-QMP=1/9*1/3=1/27
根据三棱锥体积相似比VB-EFN：VB-QMP=（1：3)²
在三棱锥B-QMP中 底面积S△QMP=1/2*1*（3√2/4)=3√2/8
高h=2√2/3 所以VB-QMP=1/3*S△QMP*h=1/3*3√2/8*2√2/3 =1/3
所以VB-EFN=1/9VB-QMP=1/9*1/3=1/27
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