点P在椭圆(x^2)/16+(y^2)/7=1上,左右焦点F1,F2,定点M(1,2),则PM+PF2的最大直多少?(PM,PF2都有绝对值)

Question

点P在椭圆(x^2)/16+(y^2)/7=1上,左右焦点F1,F2,定点M(1,2),则PM+PF2的最大直多少?(PM,PF2都有绝对值)

Answer 1

最通用的方法:
将椭圆化为参数方程:
则P:=(x,y)点满足
x = 4*sint
y = sqrt7*cost (sqrt7表示:根号7)
t∈[0,2π)
然后根据距离公式代入 |PM| + |PF2| ,则可得到一个只含t的式子,问题转化为求这个式子的最大值问题,用一些类似均值不等式或者一元二次函数图象的性质来求解.
这个方法是万能的,对于几乎所有曲线上的点到一些定点的距离求最值都可以做.
但是这题有一个比较简单的解法,要求你对椭圆的性质和三角形的性质非常了解.
为了你能看懂,请自己作图,然后对着图来看如下证明过程:
首先你得明白,椭圆上任意一点P,均满足 |PF1| + |PF2| = 2a (这里2a是8)
这个是椭圆的定义.
因此:
|PM| + |PF2| = |PM| + ( 8 - |PF1| ) = |PM| - |PF1| +8 .(1)
问题转化为求 |PM| - |PF1| 的最值;
在 △PMF1 中:
由三角不等式:任意两边和大于第三边,任意两边差小于第三边
因此,当p和MF1不在同一直线上时(三点形成真正的三角形)
都有:|PM| - |PF1| < |MF| ...(2)
而P和MF1在同一条直线上(记该直线为l)的时候,该三角形退化成一条线段,
且有:|PM| - |PF1| = |MF| (P为椭圆与l的左交点时) ...(3)
或 |PM| - |PF1| = -|MF| (P为椭圆与的右交点时) 这种情况仍然满足(2)
以上(2)(3)说明 |PM| - |PF1| 的最大值就是 |MF| ,且当P取MF1所在的直线l与椭圆的左交点的时候达到最大值.
再回头看(1),
因此 |PM| + |PF2| 的最大值就是 |MF| + 8 ,
答案是 2*sqrt5 + 8 为所求,其中sqrt5表示 根号5 .