已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）和⊙C2：x2+y2=r2（r＞0）都经过点P（-1，0），且椭圆C1的离心率e=22，过点P作斜率为k1，k2的直线l1，l2分别交椭圆C1、⊙C2于点A，B，C，D，k1=λk2．（1）求椭圆C1

Question

已知椭圆C₁：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）和⊙C₂：x²+y²=r²（r＞0）都经过点P（-1，0），且椭圆C₁的离心率e=(√(2))/(2)，过点P作斜率为k₁，k₂的直线l₁，l₂分别交椭圆C₁、⊙C₂于点A，B，C，D，k₁=λk₂．
（1）求椭圆C₁和⊙C₂的方程；
（2）若直线BC恒过定点Q（1，0）求实数λ的值；
（3）当k₁=(1)/(2)时，求△PAC面积的最大值．

Answer 1

（1）∵椭圆C₁：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），且椭圆C₁的离心率e=(√(2))/(2)，
∴

e＝(c)/(a)＝(√(2))/(2)

(1)/(a2)＝1

，解得a=1，c=(√(2))/(2)，
∴b2＝1−(1)/(2)＝(1)/(2)，
∴椭圆C₁的方程为x²+2y²=1．
∵⊙C₂：x²+y²=r²（r＞0）经过点P（-1，0），
∴1=r²，
∴⊙C₂的方程为x²+y²=1．
（2）设直线BC为y=k₁（x+1），
∵过点P作斜率为k₁，k₂的直线l₁，l₂分别交椭圆C₁、⊙C₂于点A，B，C，D，
联立

y＝k1(x+1)

x2+2y2＝1

，得(1+2k12)x2+4k12x+2k12−1＝0，
联立

y＝k1(x+1)

x2+y2＝1

，得(1+k12)x2+2k12x+k12−1＝0，
∴A（(1−2k12)/(1+2k12)，(2k1)/(1+k22)），B（(1−k12)/(1+k12)，(2k1)/(1+k12)），C（(1−2k22)/(1+2k22)，(2k2)/(1+2k22)），D（(1−k22)/(1+k22)，(2k2)/(1+k22)），
∵k₁=λk₂．直线BC恒过定点Q（1，0），
∴

QB

∥

QC

，
∴（(−2k12)/(1+k12)，(2k1)/(1+k12)）∥（(−4k22)/(1+2k22)，(2k2)/(1+k22)），
∴k₁=2k₂，解得λ=2．
（3）当k₁=(1)/(2)时，A（(1)/(3)，(2)/(3)），
∴|PA|=(2√(5))/(3)，dc−l1=(|2−4k2|)/(√(5)(1+2k22))，
∴S=(2|1−2k2|)/(3(1+2k22))≤(1+√(3))/(3)，
∴k₂=(1−√(3))/(2)时，（S_△PAC）_max=(√(3)+1)/(3)．