（2014•惠州模拟）已知左焦点为F（-1，0）的椭圆过点E（1，233）．过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为

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（2014•惠州模拟）已知左焦点为F（-1，0）的椭圆过点E（1，

）．过点P（1，1）分别作斜率为k₁，k₂的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k₁；
（3）若k₁+k₂=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．

▼优质解答

答案和解析

（1）由题意c=1，且右焦点F′（1，0）
∴2a=EF+EF′=2

，b²=a²-c²=2
∴所求椭圆方程为

＝1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x12

y12

＝1①，

x22

y22

＝1②
②-①，可得k₁=

y2−y1

x2−x1

2(x2+x1)

3(y2+y1)

；
（3）证明：由题意，k₁≠k₂，
设M（x_M，y_M），直线AB的方程为y-1=k₁（x-1），即y=k₁x+k₂，
代入椭圆方程并化简得（2+3k12）x²+6k₁k₂x+3k22−6=0
∴xM＝

−3k1k2

2+3k12

，yM＝

2k2

2+3k12

同理，xN＝

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−3k1k2

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