已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为8，离心率为12，（1）求椭圆的标准方程；（2）在椭圆上任取一点P，求P到直线l：x-2y-12=0的距离的最小值．

Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为8，离心率为(1)/(2)，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）在椭圆上任取一点P，求P到直线l：x-2y-12=0的距离的最小值．

Answer 1

（本小题共14分）
（1）由题意知2a＝8，(c)/(a)＝(1)/(2)，
∴a=4，c=2，b²=16-4=12，
∴椭圆的方程为(x2)/(16)+(y2)/(12)＝1．…（5分）
（2）解法一：设与l平行且与椭圆相切的直线方程为x-2y+m=0，
联立

x−2y+m＝0

(x2)/(16)+(y2)/(12)＝1

，
消去y得：4x²+2mx+m²-48=0，…（8分）
令△=4m²-16（m²-48）=0，得m=±8，…（10分）
当m=-8时，所得直线l₁：x-2y-8=0，…（11分）
当P为l₁与椭圆的切点时距离最小，
此时距离等于直线l₁与直线l的距离．
直线l₁与直线l距离d＝(|−12−(−8)|)/(√(12+(−2)2))＝(4√(5))/(5)
∴P到直线l：x-2y-12=0的距离的最小值为(4√(5))/(5)．…（14分）
（2）解法二：∵椭圆的方程为

x2<

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