如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=22，过右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|=2．

Question

如图，已知椭圆C： (x2)/(a2) + (y2)/(b2) =1（a＞b＞0）的离心率e= (2)/(2) ，过右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|=

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+t（t≠0）与椭圆C相交于M，N两点，直线AO平分线段MN，求△OMN的面积的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由题意， (c)/(a) = (2)/(2) ， (2b2)/(a) =

2

．
∴a=

2

，b=1
∴椭圆C的方程为 (x2)/(2) + y 2 =1 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1， (2)/(2) ），∴直线AO的方程为y= (2)/(2) x．
y=kx+t（t≠0）代入椭圆C的方程，消去y得（1+2k ² ）x ² +4ktx+2t ² -2=0
设M（x ₁ ，y ₁ ），N（x ₂ ，y ₂ ），中点P（x ₀ ，y ₀ ），由韦达定理得x ₀ =- (2kt)/(1+2 k2) ，y ₀ = (t)/(1+2 k2) ．
由点P在直线y= (2)/(2) x上，得k=- (2)/(2) ．
∴x ₁ +x ₂ =-

2

t，x ₁ x ₂ =t ² -1，
|MN|=

1+(1)/(2)

•|x ₁ -x ₂ |=

6-3 t 2

又点O到直线MN的距离d= (|t|)/((3)/(2)) ．
∴△OMN的面积为

2

•

t 2 (2- t 2 )

≤

2

• (t2 +2- t2)/(2) =

2

，
∴当t=±1时，△OMN的面积取最大值

2

，直线l的方程为y=- (2)/(2) x±1．