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一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为．

题目详情
一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为
2
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为______．
一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为
2
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为______． 一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为
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，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为______． 一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为
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，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为______． 一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为
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，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为______．
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，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为______．
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▼优质解答
答案和解析
由题意设球的半径为R，正三棱锥在底面的投影是底面的中心，
由于一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为
2
，故底面三角形的高为
6
2
，底面中心到底面三角形的顶点的距离是
2
3
×
 6
2
=
6
3

故三棱锥的顶点到底面的距离是
1 2 - (
 6​
3
) 2
=
3
3

故球心到底面的距离是
3
3
-R，由几何体的结构知 (
 6​
3
) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π
由题意设球的半径为R，正三棱锥在底面的投影是底面的中心，
由于一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为
2
，故底面三角形的高为
6
2
，底面中心到底面三角形的顶点的距离是
2
3
×
 6
2
=
6
3

故三棱锥的顶点到底面的距离是
1 2 - (
 6​
3
) 2
=
3
3

故球心到底面的距离是
3
3
-R，由几何体的结构知 (
 6​
3
) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π 由题意设球的半径为R，正三棱锥在底面的投影是底面的中心，
由于一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为
2
，故底面三角形的高为
6
2
，底面中心到底面三角形的顶点的距离是
2
3
×
 6
2
=
6
3

故三棱锥的顶点到底面的距离是
1 2 - (
 6​
3
) 2
=
3
3

故球心到底面的距离是
3
3
-R，由几何体的结构知 (
 6​
3
) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π 由题意设球的半径为R，正三棱锥在底面的投影是底面的中心，
由于一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为
2
，故底面三角形的高为
6
2
，底面中心到底面三角形的顶点的距离是
2
3
×
 6
2
=
6
3

故三棱锥的顶点到底面的距离是
1 2 - (
 6​
3
) 2
=
3
3

故球心到底面的距离是
3
3
-R，由几何体的结构知 (
 6​
3
) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π 由题意设球的半径为R，正三棱锥在底面的投影是底面的中心，
由于一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为
2
，故底面三角形的高为
6
2
，底面中心到底面三角形的顶点的距离是
2
3
×
 6
2
=
6
3

故三棱锥的顶点到底面的距离是
1 2 - (
 6​
3
) 2
=
3
3

故球心到底面的距离是
3
3
-R，由几何体的结构知 (
 6​
3
) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π
2
2
2
2 2 ，故底面三角形的高为
6
2
，底面中心到底面三角形的顶点的距离是
2
3
×
 6
2
=
6
3

故三棱锥的顶点到底面的距离是
1 2 - (
 6​
3
) 2
=
3
3

故球心到底面的距离是
3
3
-R，由几何体的结构知 (
 6​
3
) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π
6
2
6
2
6
6
6
6
6
6 6 2 2 2 ，底面中心到底面三角形的顶点的距离是
2
3
×
 6
2
=
6
3

故三棱锥的顶点到底面的距离是
1 2 - (
 6​
3
) 2
=
3
3

故球心到底面的距离是
3
3
-R，由几何体的结构知 (
 6​
3
) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π
2
3
2 3 2 2 2 3 3 3 ×
 6
2
6
2
6
6
6
6
6
6 6 2 2 2 =
6
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故三棱锥的顶点到底面的距离是
1 2 - (
 6​
3
) 2
=
3
3

故球心到底面的距离是
3
3
-R，由几何体的结构知 (
 6​
3
) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π
6
3
6
3
6
6
6
6
6
6 6 3 3 3
故三棱锥的顶点到底面的距离是
1 2 - (
 6​
3
) 2
=
3
3

故球心到底面的距离是
3
3
-R，由几何体的结构知 (
 6​
3
) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π
1 2 - (
 6​
3
) 2
1 2 - (
 6​
3
) 2
1 2 - (
 6​
3
) 2
1 2 - (
 6​
3
) 2 1 2 - (
 6​
3
) 2 2 - (
 6​
3
6​
3
6​
6​
6​
6​
6​
6​ 6​ 3 3 3 ) 2 2 =
3
3

故球心到底面的距离是
3
3
-R，由几何体的结构知 (
 6​
3
) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3 3 3 3 3
故球心到底面的距离是
3
3
-R，由几何体的结构知 (
 6​
3
) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3 3 3 3 3 -R，由几何体的结构知 (
 6​
3
) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π (
 6​
3
6​
3
6​
6​
6​
6​
6​
6​ 6​ 3 3 3 ) 2 + (
 3​
3
-R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π 2 + (
 3​
3
3​
3
3​
3​
3​
3​
3​
3​ 3​ 3 3 3 -R) 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π 2 = R 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π 2 得R=
3
2

此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π
3
2
3
2
3
3
3
3
3
3 3 2 2 2
此球的表面积为4×π× (
 3
2
) 2 =3π
故答案为3π (
 3
2
3
2
3
3
3
3
3
3 3 2 2 2 ) 2 =3π
故答案为3π 2 =3π
故答案为3π
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