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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别是棱BC、AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2(1)求证:C1E∥平面ADF;(2)若点M在棱BB1上且BM=1,求证:平面ACM⊥平面ADF.
题目详情
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别是棱BC、AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2
(1)求证:C1E∥平面ADF;
(2)若点M在棱BB1上且BM=1,求证:平面ACM⊥平面ADF.
(1)求证:C1E∥平面ADF;
(2)若点M在棱BB1上且BM=1,求证:平面ACM⊥平面ADF.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接AD、CE并相交于O点,
连接OF,则OF为平面CEC1与平面ADF的相交线,
在△ABC中,D、E分别是BC、AB的中点
则O点为△ABC的重心,即 OC=2OE
=
,
又CC1=AA1=3,CF=2,
=
,
在△ECC1、△COF中,
=
,
∴OF∥C1E,
∵OF⊂平面ADF,C1E不包含于平面ADF,
∴C1E∥平面ADF.
(2)∵平面BCC1B1∩平面ADF=DF,
平面BCC1B1∩平面ACM=CM,
∵BC=CF=2,D是棱BC的中点,BM=1,
∠CBM=∠FCD=90°,
∴△CBM≌△FCD,∴∠BCM=∠CFD,
∴DF⊥CM,
∴平面ACM⊥平面ADF.
连接OF,则OF为平面CEC1与平面ADF的相交线,
在△ABC中,D、E分别是BC、AB的中点
则O点为△ABC的重心,即 OC=2OE
OC |
CE |
3 |
2 |
又CC1=AA1=3,CF=2,
CF |
CC1 |
2 |
3 |
在△ECC1、△COF中,
CF |
CC1 |
OC |
CE |
∴OF∥C1E,
∵OF⊂平面ADF,C1E不包含于平面ADF,
∴C1E∥平面ADF.
(2)∵平面BCC1B1∩平面ADF=DF,
平面BCC1B1∩平面ACM=CM,
∵BC=CF=2,D是棱BC的中点,BM=1,
∠CBM=∠FCD=90°,
∴△CBM≌△FCD,∴∠BCM=∠CFD,
∴DF⊥CM,
∴平面ACM⊥平面ADF.
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