已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=12（x-m）2+n的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为C（1）若点C（非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式；（2）若抛物线

Question

已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=(1)/(2)（x-m）²+n的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为C

（1）若点C（非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式；
（2）若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值；
（3）在（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交CP交抛物线的对称轴于点P，使得∠DCP=∠CAD，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（-1，0），点B（0，1），
∵顶点D在直线AB上，
∴y=(1)/(2)（x-m）²+m+1，
把点B（0，1）代入得
1=(1)/(2)m²+m+1，
解得：m=-2或m=0（不合题意舍去），
∴y=(1)/(2)（x+2）²-1；
（2）如图，

由题意可知：
点D（m，m+1），C（0，(1)/(2)m²+m+1），
∵在Rt△ABO中，AO=BO=1，CD⊥AB，
∴△CDB为等腰直角三角形，
作DH⊥BC，则DH=(1)/(2)BC，
∴m=(1)/(2)（(1)/(2)m²+m+1-1），
解得m=2，
∴C（0，5），D（2，3），CD=2√(2)，AD=3√(2)，
∴tan∠CAD=(CD)/(AD)=(2)/(3)．
（3）延长AC交对称轴于点F，
直线AC：y=5x+5，
则F（2，15），
∵∠DCP=∠CAD，∠APF=∠CDP=135°，
∴△ADF∽△CDP，
∴(AD)/(CD)=(DF)/(DP)，
(3√(2))/(2√(2))=(12)/(DP)
解得DP=8，
又∵点D（2，3）
∴P（2，-5）．