如图，以A为顶点的抛物线l2是由抛物线l1：y=x2沿x轴向右平移2个单位后得到的，两抛物线相交于点M，抛物线l2与y轴交于点D，以OD为边向右作正方形ODCB，P为抛物线l1上一点，其横坐标为m（0≤m

Question

如图，以A为顶点的抛物线l₂是由抛物线l₁：y=x²沿x轴向右平移2个单位后得到的，两抛物线相交于点M，抛物线l₂与y轴交于点D，以OD为边向右作正方形ODCB，P为抛物线l₁上一点，其横坐标为m（0≤m≤2），且点P不与点M重合，过点P作PQ∥y轴，交抛物线l₂于点Q，将PQ绕点P逆时针旋转90°，得到线段PE，连结EQ．

（1）求点M坐标．
（2）求△PEQ与正方形ODCB的重叠部分图形面积S与m之间的函数关系式．
（3）当点E落在抛物线l₁或l₂上时，求m的值．
（4）直接写出△PEQ的一边被抛物线l₁或l₂平分时m的值．

Answer 1

（1）∵抛物线l₁：y=x²沿x轴向右平移2个单位后得到抛物线l₂，
∴l₂：y=（x-2）²，即y=x²-4x+4，
由x²=（x-2）²，解得x=1，
∴y=x²=1，
∴M（1，1）；
（2）∵对于y=x²-4x+4，当x=0时，y=4，
∴D（0，4），则OD=4，
∵P（m，m²），PQ∥y轴，
∴Q（m，m²-4m+4），
当0≤m<1时，PQ=（m²-4m+4）-m²=-4m+4，
当12-（m²-4m+4）=4m-4，
当E在OD上时，PE=PQ，则m=-4m+4，m=(4)/(5)，
∴当0≤m≤(4)/(5)时，如图①，
S=(1)/(2)[（-4m+4）-m+（-4m+4）]•m
=-(9)/(2)m²+4m；
当(4)/(5)<m<1时，如图②，
S=(1)/(2)（-4m+4）²=8（m-1）²；
当E在BC上时，PE=PQ，则4-m=4m-4，m=(8)/(5)，
当1<m≤(8)/(5)时，如图③，S=(1)/(2)（4m-4）²=8（m-1）²，
当(8)/(5)<m≤2时，如图④，S=(1)/(2)[（m+4m-4-4）+（4m-4）]•（4-m）=-(9)/(2)m²+24m-24；
（3）当E在l₁上时，如图⑤，2m=-4m+4，
当E在l₂上时，如图⑥，（m+4m-4-2）²=m²，
∴m₁=(3)/(2)，m₂=1（舍），
综上，当点E落在抛物线l₁或l₂上时，m的值为(3)/(2)或(2)/(3)；


（4）m的值为(1)/(2)或(1)/(4)或(7)/(4)或2；
如图：⑦～⑩