如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于F点．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积

Question

如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于F点．

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．

Answer 1

（1）由折叠得到BE=PE，EC⊥PB，
∵E为AB的中点，
∴AE=EB=PE，
∴AP⊥BP，
∴AF∥EC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF为平行四边形；

（2）过P作PM⊥DC，交DC于点M，

在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，
根据勾股定理得：EC=√(32+42)=5，
∵S_△EBC=(1)/(2)EB•BC=(1)/(2)EC•BQ，
∴BQ=(3×4)/(5)=(12)/(5)，
由折叠得：BP=2BQ=(24)/(5)，
在Rt△ABP中，AB=6，BP=(24)/(5)，
根据勾股定理得：AP=√(AB2-BP2)=(18)/(5)，
∵四边形AECF为平行四边形，
∴AF=EC=5，FC=AE=3，
∴PF=5-(18)/(5)=(7)/(5)，
∵PM∥AD，
∴(PF)/(AF)=(PM)/(AD)，即((7)/(5))/(5)=(PM)/(4)，
解得：PM=(28)/(25)，
则S_△PFC=(1)/(2)FC•PM=(1)/(2)×3×(28)/(25)=(42)/(25)．