设a,b,c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca试证：3S≤I^2≤4S

Question

设a,b,c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca
试证：3S≤I^2≤4S

Answer 1

证明：
l^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc,
3S=3ab+3bc+3ac
4S=4ab+4bc+4ac
要证3S≤l^2,只要证3ab+3bc+3ac≤a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc,即
ab+ac+bc≤a^2+b^2+c^2
∵a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2≥2ab+2bc+2ac
∴ab+ac+bc≤a^2+b^2+c^2得证,即3S≤l^2
要证l^2≤4S,只要证a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤4ab+4bc+4ac,即
a^2+b^2+c^2≤2ab+2bc+2ac
∵三角形中两边之和大于第三边
∴a^2