已知等边三角形ABC内接于⊙O，P为⊙O上异于A、B、C的动点．当点P为弦BC所对的劣弧上一点时（如图），连接PA、PB、PC，（1）求证：PB+PC=PA；（2）当点P为弦BC所对的优弧上一点时，连接PA、PB

Question

已知等边三角形ABC内接于⊙O，P为⊙O上异于A、B、C的动点．当点P为弦BC所对的劣弧上一点时（如图），连接PA、PB、PC，

（1）求证：PB+PC=PA；
（2）当点P为弦BC所对的优弧上一点时，连接PA、PB、PC，猜想PA、PB和PC的数量关系为：______，不必证明；
（3）⊙O半径为4，当PB=2时，求PA的长．

Answer 1

（1）证明：连结CD．在PA上截取PD=PC
∵AB=AC=BC，
∴∠APB=∠APC=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCB=∠ACB-∠DCB，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，

AC＝BC

∠ACD＝∠BCP

CP＝CD

∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，
∴PA=PB+PC


（2）PC=PA+PB或PB=PA+PC．

（3）如上图
∵△ABC都为等边三角形，⊙O半径为4，
∴AB=BC=AC=4√(3)，
∵∠APB=∠ACB=60°，PB=2
根据余弦定理可知：PA²+PB²-AB²=2PA×PB•COS∠APB，
整理得PA²-2PA-44=0，
解得PA=1+3√(5)或PA=1-3√(5)（舍去）
∴PA=1+3√(5)