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已知等边三角形ABC内接于⊙O,P为⊙O上异于A、B、C的动点.当点P为弦BC所对的劣弧上一点时(如图),连接PA、PB、PC,(1)求证:PB+PC=PA;(2)当点P为弦BC所对的优弧上一点时,连接PA、PB

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已知等边三角形ABC内接于⊙O,P为⊙O上异于A、B、C的动点.当点P为弦BC所对的劣弧上一点时(如图),连接PA、PB、PC,

(1)求证:PB+PC=PA;
(2)当点P为弦BC所对的优弧上一点时,连接PA、PB、PC,猜想PA、PB和PC的数量关系为:______,不必证明;
(3)⊙O半径为4,当PB=2时,求PA的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连结CD.在PA上截取PD=PC
∵AB=AC=BC,
∴∠APB=∠APC=60°,
∴△PCD为等边三角形,
∴∠PCD=∠ACB=60°,CP=CD,
∴∠PCD-∠DCB=∠ACB-∠DCB,即∠ACD=∠BCP,
在△ACD和△BCP中,
AC=BC
∠ACD=∠BCP
CP=CD

∴△ACD≌△BCP(SAS),
∴AD=PB,
∵PA=AD+DP,DP=PC,
∴PA=PB+PC


(2)PC=PA+PB或PB=PA+PC.

(3)如上图
∵△ABC都为等边三角形,⊙O半径为4,
∴AB=BC=AC=4
3

∵∠APB=∠ACB=60°,PB=2
根据余弦定理可知:PA2+PB2-AB2=2PA×PB•COS∠APB,
整理得PA2-2PA-44=0,
解得PA=1+3
5
或PA=1-3
5
(舍去)
∴PA=1+3
5
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